Yksinkertaisen harmonisen liikkeen keksi ranskalainen matemaatikko paroni Jean Baptiste Joseph Fourier vuonna 1822. Edwin Armstrong (18. joulukuuta 1890 - 1. helmikuuta 1954) havaitsi värähtelyjä kokeissaan vuonna 1992 ja Alexander Meissner (14. syyskuuta 1883 - 3. tammikuuta 1958). oskillaattorit maaliskuussa 1993. Termi harmoninen on latinankielinen sana. Tässä artikkelissa käsitellään harmonisen oskillaattorin yleiskatsausta, joka sisältää sen määritelmän, tyypin ja sovellukset.

Mikä on harmoninen oskillaattori?

Harmoninen oskillaattori määritellään liikkeeksi, jossa voima on suoraan verrannollinen hiukkaseen tasapainopisteestä ja tuottaa ulostulon sinimuotoisessa aaltomuodossa. Voima, joka aiheuttaa harmonisen liike voidaan matemaattisesti ilmaista

F = -Kx

Missä,

F = palautusvoima

K = jousivakio

X = Etäisyys tasapainosta

harmonisen oskillaattorin lohkokaavio

Harmonisessa liikkeessä on kohta, jossa järjestelmä värähtelee, ja voima, joka tuo massan uudestaan ja uudestaan samaan pisteeseen, josta se alkaa, voimaa kutsutaan palautusvoimaksi ja pistettä kutsutaan tasapainopisteeksi tai keskiasennoksi. Tämä oskillaattori tunnetaan myös nimellä lineaarinen harmoninen oskillaattori . Energia virtaa aktiivisesta komponentit oskillaattorin passiivisiin komponentteihin.

Lohkokaavio

harmonisen oskillaattorin lohkokaavio koostuu vahvistin ja palauteverkko. Vahvistinta käytetään signaalien vahvistamiseen ja että vahvistetut signaalit kulkevat takaisinkytkentäverkon läpi ja tuottavat lähdön. Missä Vi on tulojännite, Vo on lähtöjännite ja Vf takaisinkytkentäjännite.

Esimerkki

Massa keväällä: Jousi tarjoaa palautusvoiman, joka kiihdyttää massaa ja palautusvoima ilmaistaan

F = ma

Missä m on massa ja a on kiihtyvyys.

“AC -DC -tasasuuntaajapiirit ”

massa keväällä

Jousi koostuu massasta (m) ja voimasta (F). Kun voima vetää massaa pisteeseen x = 0 ja riippuu vain x: stä - massan sijainti ja jousivakio on esitetty kirjaimella k.

Harmonisen oskillaattorin tyypit

Tämän oskillaattorin tyypit sisältävät pääasiassa seuraavat.

Pakotettu harmoninen oskillaattori

Kun kohdistamme ulkoista voimaa järjestelmän liikkeeseen, liikkeen sanotaan olevan pakotettu harmoninen oskillaattori.

Vaimennettu harmoninen oskillaattori

Tämä oskillaattori määritellään siten, että kun kohdistamme järjestelmään ulkoista voimaa, oskillaattorin liike vähenee ja sen liikkeen sanotaan olevan vaimennettu harmoninen liike. Vaimennettuja harmonisia oskillaattoreita on kolme tyyppiä

vaimennus-aaltomuodot

Yli vaimennettu

Kun järjestelmä liikkuu hitaasti kohti tasapainopistettä, sen sanotaan olevan liian vaimennettu harmoninen oskillaattori.

Kohdassa Vaimennettu

Kun järjestelmä liikkuu nopeasti kohti tasapainopistettä, sen sanotaan olevan liian vaimennettu harmoninen oskillaattori.

Kriittinen vaimennettu

Kun järjestelmä liikkuu mahdollisimman nopeasti värähtelemättä tasapainopisteen ympärillä, sen sanotaan olevan liian vaimennettu harmoninen oskillaattori.

Kvantti

Sen ovat keksineet Max Born, Werner Heisenberg ja Wolfgang Pauli “Gottingenin yliopistossa”. Sana kvantti on latinankielinen sana ja kvantin merkitys on pieni määrä energiaa.

Nollapisteen energia

Nollapisteen energia tunnetaan myös perustilan energiana. Se määritellään, kun perustilan energia on aina suurempi kuin nolla, ja Max Planck löysi tämän käsitteen Saksasta ja vuonna 1990 kehitetyn kaavan.

Vaimennetun yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin yhtälön keskimääräinen energia

On olemassa kahden tyyppisiä energioita, ne ovat kineettistä energiaa ja potentiaalienergiaa. Kineettisen energian ja potentiaalienergian summa on yhtä suuri kuin kokonaisenergia.

E = K + U ………………. Yhtälö (1)

Missä E = kokonaisenergia

K = kineettinen energia

U = potentiaalinen energia

Missä k = k = 1/2 mv^kaksi………… ekv (2)

U = 1/2 kx^kaksi………… ekv (3)

värähtelysykli - keskiarvot -arvot

Kineettisen ja potentiaalisen energian keskiarvot värähtelyjaksoa kohden ovat yhtä suuret kuin

Missä v^kaksi= v^kaksi(TO^kaksi-x^kaksi) ……. ekv (4)

Korvaa eq (4) yhtälöissä (2) ja eq (3) saa

k = 1/2 m [paino^kaksi(TO^kaksi-x^kaksi)]

= 1/2 m [Aw cos (paino + ø₀)]^kaksi……. ekv (5)

U = 1/2 kx^kaksi

= 1/2 k [synti (paino + ø₀)]^kaksi……. ekv (6)

Korvaa eq (5) ja eq (6) yhtälössä (1) saavat kokonaisenergian arvon

E = 1/2 m [paino^kaksi(TO^kaksi-x^kaksi)] + 1/2 kx^kaksi

= 1/2 m w^kaksi-1/2 m w^kaksiTO^kaksi+ 1/2 kx^kaksi

= 1/2 m w^kaksiTO^kaksi+1/2 x^kaksi(K-mw^kaksi) ……. ekv (7)

Missä mw^kaksi= K , korvaa tämä arvo ekvivalenttina (7)

E = 1/2 K A^kaksi- 1/2 Kx^kaksi+ 1/2 x^kaksi= 1/2 K A^kaksi

Kokonaisenergia (E) = 1/2 KA^kaksi

Yhden ajanjakson keskimääräiset energiat ilmaistaan

TO_keskim= U_keskim= 1/2 (1/2 K A^kaksi)

Harmoninen oskillaattoritoiminto

Hamiltonin operaattori ilmaistaan kineettisen energian ja potentiaalienergian summana ja se ilmaistaan

ђ (Q) = T + V ………………. ekv (1)

Missä ђ = hamitonilainen operaattori

T = kineettinen energia

V = potentiaalinen energia

Aaltofunktion luomiseksi meidän on tiedettävä Schrodinger-yhtälö ja yhtälö ilmaistaan muodossa

-đ^kaksi/ 2μ * d^kaksiѱ_υ(Q) / dQ^kaksi+ 1 / 2KQ^kaksiѱ_υ(Q) = E_υѱ_υ(Q) …………. ekv (2)

Missä Q = normaalikoordinaatin pituus

Μ = Tehollinen massa

K = voimavakio

Schrodingerin yhtälön rajaehdot ovat:

Ѱ (-∞) = ø

Ѱ (+ ∞) = 0

Voimme myös kirjoittaa eq (2) muodossa

d^kaksiѱ_υ(Q) / dQ^kaksi+ 2μ / đ^kaksi(E_υ-K / 2 * Q^kaksi) ѱ_υ(Q) = 0 ………… ekv. (3)

Yhtälön ratkaisemiseen käytetyt parametrit ovat

β = ђ / √μk ……… .. ekv (4)

d^kaksi/ dQ^kaksi= 1 / β^kaksid^kaksi/ dx^kaksi………… .. ekv (5)

Korvaa eq (4) ja eq (5) eq: ssa (3), jolloin tälle oskillaattorille saadaan differentiaaliyhtälö

d^kaksiѱ_υ(Q) / dx^kaksi+ (2μb^kaksiE_υ/ đ^kaksi- x^kaksi) ѱ_υ(x) = 0 ……… .. ekv. (6)

Tehosarjojen yleinen ilmaisu on

ΣC¬nx2 …………. ekv (7)

Eksponentiaalinen funktio ilmaistaan

exp (-x^kaksi/ 2) ………… ekv (8)

eq (7) kerrotaan eq: lla (8)

ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..ekv. (9)

Hermiittipolynomit saadaan käyttämällä alla olevaa yhtälöä

ђ_υ(x) = (-1)^υ* exp (x^kaksi) d / dx^υ* exp (-x^kaksi) …………… .. ekv (10)

Normalisoiva vakio ilmaistaan

N_υ= (1/2^υυ! √Π)^1/2…………… .ekv. (11)

yksinkertainen harmoninen oskillaattoriratkaisu ilmaistaan

Ѱ_υ(x) = N_υH_υ(ja) e^{-x2 / 2}……………… ekv (12)

Missä N_υon normalisointivakio

H _υon Hermite

On ^{-x2 / kaksi}on Gaussin

Yhtälö (12) on harmonisen oskillaattorin aaltofunktio.

Tässä taulukossa esitetään ensimmäiset termit Hermiitin polynomit pienimmille energiatiloille

^υ	0	1	kaksi	3
H_υ(Y)	1	2v	4v^kaksi-2	8v³-12v

Aaltotoiminnot yksinkertainen harmoninen oskillaattorikaavio neljälle pienimmälle energiatilalle on esitetty alla olevissa kuvissa.

aaltotoiminnot - harmonisen oskillaattorin

harmonisen oskillaattorin aaltotoiminnot

Tämän oskillaattorin todennäköisyystiheydet neljälle pienimmälle energiatilalle on esitetty alla olevissa kuvissa.

aaltomuotojen todennäköisyys-tiheydet

Sovellukset

Simple harmoninen oskillaattorisovellukset sisältävät pääasiassa seuraavat

Ääni- ja videojärjestelmät
Radio ja muut viestintälaitteet
Invertterit , Hälytykset
Buzzers
Koristeelliset valot

Edut

harmonisen oskillaattorin edut ovat

Halpa
Korkean taajuuden tuottaminen
Korkea hyötysuhde
Halpa
Kannettava
Taloudellinen

Esimerkkejä

Tämän oskillaattorin esimerkki sisältää seuraavan.

Soittimet
Yksinkertainen heiluri
Massajousijärjestelmä
Keinu
Kellon osoittimien liike
Autojen, kuorma - autojen, linja - autojen jne. Pyörien liike

Se on yksi liiketyyppi, jota voimme tarkkailla päivittäin. Harmoninen oskillaattori aaltofunktio Schrodingerin avulla ja johdetaan harmonisen oskillaattorin yhtälöt. Tässä on kysymys, minkä tyyppistä liikettä benji-hyppy suorittaa?